Methodik

Die Formeln hinter jeder Zahl

Factibilidad.io verwendet keine KI für Berechnungen — es verwendet deterministische Wirtschaftsingenieurwissenschaft. Dies sind die genauen Ableitungen jedes angezeigten Ergebnisses.

📖Basierend auf Blank & Tarquin, Engineering Economy, 8. Aufl. — der internationale Standard
01 — Kapitalwert

NPV (Kapitalwert)

Wie viel das Geld, das Ihr Projekt in der Zukunft generieren wird, heute wert ist.

Das zentrale Prinzip der Wirtschaftsingenieurwissenschaft ist, dass ein Euro heute mehr wert ist als ein Euro morgen. Der NPV diskontiert alle zukünftigen Cashflows mit dem Mindestzinssatz, den Sie von Ihrer Investition verlangen (WACC), und addiert sie. Ist das Ergebnis positiv, schafft das Projekt über diese Anforderung hinaus Wert.

Allgemeine Formel

VPN = −I₀ + Σ [Fₜ / (1 + i)ᵗ] para t = 1 … n
  • I₀Anfangsinvestition bei t = 0 (CAPEX + Betriebskapital). Immer negativ.
  • FₜNetto-Cashflow für Periode t (Einnahmen − Ausgaben − Steuern).
  • iWACC: Gewichteter Kapitalkostensatz (Ihre Opportunitätskosten).
  • nBewertungshorizont in Jahren.
  • (1+i)ᵗDiskontierungsfaktor: wandelt zukünftiges Geld in heutiges Geld um.

Schritt-für-Schritt-Ableitung

1

Netto-Cashflow für jedes Jahr berechnen

Fₜ = Ingresos − Costos variables − Costos fijos − Impuestos
Steuern werden auf das EBIT (Ergebnis vor Zinsen und Steuern) berechnet, das die Abschreibung als Steuerschild einschließt.
2

Cashflow für Jahr 0 hinzufügen

F₀ = −(CAPEX + Capital de trabajo)
Am Ende des Horizonts werden Betriebskapital und Restwert des Vermögenswerts zurückgewonnen.
3

Jeden Cashflow diskontieren

Fₜ_descontado = Fₜ / (1 + i)ᵗ
Ein Cashflow von 100 € in Jahr 3 mit i = 15% ist heute wert: 100 / (1,15)³ = 65,75 €
4

Alle diskontierten Cashflows summieren

VPN = F₀ + F₁/(1+i)¹ + F₂/(1+i)² + … + Fₙ/(1+i)ⁿ

Entscheidungsregel

VPN > 0 → das Projekt schafft Wert über dem WACC. Akzeptieren.
VPN = 0 → das Projekt entspricht genau dem WACC. Gleichgültig.
VPN < 0 → das Projekt vernichtet bei diesem Zinssatz Wert. Ablehnen oder überarbeiten.

Numerisches Beispiel

CAPEX = $100.000 · Flujos: $30.000/año · i = 15% · n = 5 años VPN = −100.000 + 30.000/(1.15)¹ = +26.087 + 30.000/(1.15)² = +22.684 + 30.000/(1.15)³ = +19.725 + 30.000/(1.15)⁴ = +17.152 + 30.000/(1.15)⁵ = +14.914 ───────── VPN = +$ 562 (rentabel, wenn auch knapp)
02 — Interner Zinssatz

IRR (Interner Zinssatz)

Der effektive Zinssatz, den Ihr Projekt auf Ihre Investition zahlt.

Der IRR ist die Rate i*, die den NPV genau null macht. Es gibt keine geschlossene Formel zur Berechnung — sie wird numerisch gelöst. Factibilidad.io verwendet Newton-Raphson mit Bisektions-Fallback, wenn die Cashflow-Serie mehrere Vorzeichenwechsel aufweist.

Definition

TIR = i* tal que VPN(i*) = 0 0 = −I₀ + Σ [Fₜ / (1 + i*)ᵗ] para t = 1 … n

Newton-Raphson-Algorithmus

1

Startpunkt

Anfangsschätzung: 10%. Das geometrische Mittel der positiven Cashflows wird als Startheuristik verwendet.
2

Iteration

Jeder Schritt wendet die Newton-Korrektur an. Die analytische Ableitung ist:
iₙ₊₁ = iₙ − VPN(iₙ) / VPN'(iₙ)

VPN'(i) = −Σ [t · Fₜ / (1 + i)^(t+1)]
3

Konvergenz

Iteriert bis die Differenz kleiner als 1×10⁻⁸ ist. Newton-Raphson konvergiert quadratisch — typischerweise in 5–10 Iterationen.
4

Fallback: Bisektion

Wenn Newton-Raphson nicht konvergiert (mehrere Vorzeichenwechsel, nicht-konvexe Kurven), wird Bisektion im Intervall [0%, 200%] mit Toleranz 1×10⁻⁷ angewendet.

Entscheidungsregel

TIR > TMAR → das Projekt rentiert mehr als Ihre Opportunitätskosten. Akzeptieren.
TIR < TMAR → das Projekt erreicht Ihre Mindestanforderung nicht. Ablehnen.
TIR = TMAR → entspricht NPV = 0. Gleichgültig.

Wichtige Einschränkung

Wenn Cashflows mehr als einmal das Vorzeichen wechseln, kann es mehr als einen IRR oder keinen geben. In diesem Fall ist der NPV das zuverlässige Kriterium. Das Tool warnt, wenn dies auftritt.
03 — Sensitivitätsanalyse

Sensitivitätsanalyse

Welche Variable bewegt den NPV bei Änderung am stärksten? Das Tornado-Diagramm ordnet Risiken nach realem Einfluss.

Die Sensitivitätsanalyse bewertet die Robustheit des NPV gegenüber individuellen Variationen jedes Eingabeparameters. Sie identifiziert die kritische Variable — diejenige, die bei der Marktvalidierung die meiste Aufmerksamkeit verdient.

±10%-Verfahren

1

Variablen auswählen

Ausgewertet werden: Stückpreis, Anfangsvolumen, variable Stückkosten, monatliche Fixkosten, CAPEX, Wachstumsrate und Diskontierungssatz (WACC).
2

Eine Variable auf einmal stören (ceteris paribus)

Für jede Variable X werden zwei Szenarien berechnet. Alle anderen Variablen bleiben bei ihrem Basiswert.
VPN⁻ = VPN(X × 0.90) // −10%
VPN⁺ = VPN(X × 1.10) // +10%
3

Auswirkungsbereich berechnen

Impacto(X) = |VPN⁺ − VPN⁻|
Dies ist die gesamte Variationsbreite des NPV bei dieser Störung.
4

Von höchstem zu niedrigstem sortieren (Tornado-Diagramm)

Variablen werden nach Auswirkung von oben nach unten dargestellt. Längste Balken = höchstes Risiko. Roter Balken = ungünstiges Szenario; grün = günstig.

Praktische Interpretation

Wenn der Stückpreis eine viel längere Balken als das Volumen hat, bedeutet ein 10%-Fehler beim Preis viel mehr Wert-Zerstörung (oder -Schaffung) als derselbe Fehler beim Volumen. Das ist die Variable, in deren Validierung Sie vor dem Kapitaleinsatz am meisten Zeit investieren sollten.

Hinweis zum Vorzeichen

Para precio: VPN⁺ > VPN⁻ (más precio = más VPN — relación positiva) Para CAPEX: VPN⁺ < VPN⁻ (más CAPEX = menos VPN — relación negativa) Para costos: VPN⁺ < VPN⁻ (más costo = menos VPN — relación negativa)

Das Tornado-Diagramm zeigt die korrekte Richtung für jede Variable.

04 — Break-even-Punkt

Break-even-Punkt

Das Mindestabsatzvolumen, bei dem Einnahmen genau die Gesamtkosten decken.

Die Break-even-Analyse unterteilt Kosten in zwei Kategorien: fix (ändern sich nicht mit dem Volumen) und variabel (ändern sich proportional). Der Schnittpunkt der Erlöslinie mit der Gesamtkostenlinie definiert den operativen Break-even-Punkt.

Ableitung aus dem Deckungsbeitrag

1

Stückdeckungsbeitrag

MC = Precio − Costo variable unitario
Jede verkaufte Einheit trägt zur Deckung der Fixkosten bei. Der DB ist die Differenz zwischen dem Eingang pro Verkauf und dem variablen Kostenausgang.
2

Deckungsbeitragsquote (DBQ)

RCM = MC / Precio
Gibt an, welcher Anteil jedes Euro Umsatz zur Deckung der Fixkosten verfügbar ist. Eine DBQ von 0,60 bedeutet, dass 0,60 € von jedem Umsatz-Euro zu den Fixkosten beitragen.
3

Break-even in Einheiten

Das Gleichgewicht wird erreicht, wenn die Summe der Deckungsbeiträge genau die Fixkosten deckt.
PE_unidades = Costos fijos anuales / MC
4

Break-even in Euro

PE_pesos = Costos fijos anuales / RCM
PE_pesos = PE_unidades × Precio

Konsolidierte Formeln

MC = P − Cv // Margen de contribución unitario RCM = MC / P // Razón de contribución marginal PE_u = CF / MC // Break-even en unidades PE_$ = CF / RCM // Break-even en pesos MS = (Q − PE_u) / Q // Margen de Seguridad (0 a 1) Donde: P = Precio unitario de venta Cv = Costo variable unitario CF = Costos fijos anuales (fixedCostMonthly × 12) Q = Volumen proyectado en año 1

Sicherheitsmarge

Die Sicherheitsmarge (SM) beantwortet: Wie stark kann das Volumen sinken, bevor ein Verlust entsteht?

MS < 20% → Risikozone. Kleine Nachfrageschwankungen erzeugen Verluste.
MS 20%–40% → akzeptable Marge für die meisten Sektoren.
MS > 40% → Projekt ist robust gegenüber Nachfragerückgängen.

Numerisches Beispiel

P = $1.000 · Cv = $400 · CF anual = $360.000 · Q = 800 unidades/año MC = 1.000 − 400 = $600/unidad RCM = 600 / 1.000 = 60% PE_u = 360.000 / 600 = 600 unidades/año PE_$ = 360.000 / 0.60 = $600.000/año MS = (800 − 600) / 800 = 25% → akzeptabel

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Methodik basierend auf Blank & Tarquin, Engineering Economy 8. Auflage